Time Series Analysis (2)

我们知道，一个周期函数总可以在表达为正余弦函数的无穷和，这样我们就可以理解

• 这个函数由哪些频率的振动“组成”，以及
• 每种振动有多强。

在时间序列上我们也意图建立类似的理论。首先，不太严格地sketch一下信号的分解。 考虑一组观测数据$x_1,x_2,...,x_n$. 我们希望刻画频率为$f$的振动在这组数据上贡献了多少成分。当考察两组数据的“相似”程度时，一个常见的想法是用内积刻画。考虑这组数据和频率为$f$的振动的内积

内积越大，意味着观测数据拥有更多这种振动的成分。这样，我们就给出了一种“时间序列有多少某一频率的振动”的刻画。

然而，这种刻画目前还存在一个问题：它假设振动在$t=0$时的相位为$0$. 为了解决这个问题，我们应当考虑的不仅仅是$\cos (2\pi ft)$, 而应该generalize为$\cos(2\pi ft+\phi)$. 考虑到后者总可以写为同一频率、同一相位的正余弦之和，我们只需要参考$(1)$, 同时考虑

这样，$(a_f,b_f)$就给出了在频率$f$上的振动的，同时包含振幅与相位两个信息的刻画。$\sqrt{a_f^2+b_f^2}$刻画了频率为$f$的振动的振幅。

这样，我们就给出了一个振动分解:

一般来说，我们取$f_j=\frac{j}{n},j=1,2,...,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$. $j$的最大值$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$由奈奎斯特频率给出；每个$f_j$都在观测序列的时间范围内恰好完成整数个周期的振动。

回到平稳时间序列的框架。我们关心时间上先后变量的线性依赖，即$\gamma(h)$. 刚才我们对时间序列在每一时刻的取值做了频域上的分解，现在我们自然关心$\gamma(h)$在频域上的分解，即：

• 在$h$-lagged的两个变量之间，每种振动贡献了多少线性依赖？

考虑

[!Notice] Work In Progress.